Теоремы синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием
верны ?
Задание 1
произведения этих сторон на sin угла между ними.
Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме
квадратов двух других сторон без
произведения этих сторон на cos угла между ними.
Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на cos угла между ними.
В прямоугольном треугольнике
квадрат катета равен разности квадратов
гипотенузы и другого катета.
Какие из следующих утверждений верны ?
Задание 2
синусам противополежащих углов.
Стороны треугольника пропорциональны
косинусам противополежащих углов.
Стороны треугольника пропорциональны
синусам прилежащих углов.
Стороны треугольника пропорциональны
противополежащим углам.
Какие из следующих утверждений верны ?
Задание 3
площадь и периметр.
Решить треугольник – это значит измерить все
его элементы.
Решить треугольник – это значит найти его
неизвестные элементы по трем известным.
Решить треугольник – это значит найти ему
равный треугольник.
Не верно!
Не верно!
Не верно!
Установите соответствие?
Задание 4
А) теорема синусов
Б) формула Герона
В) теорема Пифагора
Г) теорема косинусов
Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии
8 шагов от столба, на котором висит фонарь.
Тень человека равна четырем шагам. На какой
высоте (в метрах) расположен фонарь?
Задание 5
8 шагов
4 шага
Подсказка (2)
Рассмотреть подобные треугольники
ΔАВС
ΔАКМ
Футбольный мяч находится у Ежика, который расположился на расстояниях 23 м и 24 м от стоек ворот. Ширина ворот 7 м. Найдите угол попадания мяча в ворота?
Задание 6
Задание 7
Алгоритм решения практических задач
- Выполнить рисунок
- Решить геометрическую задачу
Задание 7
Найти расстояние до недоступного предмета
Алгоритм нахождения расстояния до недоступного предмета
- Наметить 2 точки, расстояние между которыми можно измерить
- Выполнить измерение углов
- Построить математическую модель (чертеж)
- Решить геометрическую задачу, используя теорему синусов
Решите сами 1 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта С и В на расстоянии 50м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=550, <АВС=650) 2 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта В и С на расстоянии 40м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Теорема синусов
Теорема 12.2 (теорема синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
М O X MO sinX MX sinO = = OX sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
C D E CD sinE EC sinD = = DE sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Следствие из теоремы синусов где R – радиус окружности, описанной около ∆ АВС
Задача Найти радиус окружности, описанной около ∆ АВС, если АС = 2 см, АВС = 45° A С В 45 0 2 По следствию из теоремы синусов R = R = 2: (2 ·) R =
Тригонометрическая таблица № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
AB sinC AC sinB = C A B 75 0 60 0 60 0 4 4 ? 45 0 45 0 Найти АВ Задача № 1 Таблица
AB sinC BC sinA = C A B 60 0 60 0 ? 2 3 3 2 Задача № 2 Таблица
2 AB sinC AC sinB = C A B ? 2 2 2 2 2 13 5 0 13 5 0 Найти угол А Задача № 3 Таблица
120 0 AC sinD AD sinC = AB С D – параллелограмм. Найти AC . D A B C 30 0 30 0 6 0 0 5 5 ? 120 0 30 0 Задача № 4 Таблица
45 0 2 45 0 BC sinA AB sinC = AB С D – параллелограмм. Найти BC . D A B C 30 0 30 0 2 ? 105 0 30 0 Задача № 5 Таблица
Домашнее задание Стр. 162-163, п.110; доказать теорему 12.2; по рабочей тетради № 99 – 104
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Интерактивный тест, который содержит 5 заданий с выбором одного верного ответа из четырех предложенных, с учетом времени, затраченного на прохождение теста; тест создан в программе PowerPoint-2007 с и...
Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."
Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...
Самостоятельная работа:
2 вариант:
1 вариант:
Проверь ответы:
2 вариант:
1 вариант:
Теорема косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
- Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере
Насир ад-Дин Ат-Туси
Теорема синусов :
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
- Замечание: Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства
- Где R – радиус описанной окружности.
1) Запишите теорему синусов для данного треугольника:
2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:
Найдите угол В.
Найдите длину стороны ВС.
Найдите длину стороны АВ.
Найдите MN.
Запишите формулу для вычисления:
- http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
- http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
- https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
- http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
- http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Теорема косинусов
Теорема 12.1 (Теорема косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA
AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + CA 2 cos Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный) A C B – 2 BC CA 90 0 C 0 AB 2 = BC 2 + CA 2 Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.
XR 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон RO 2 + XO 2 cosO O X R – 2 RO XO RO 2 = RX 2 + XO 2 cosX – 2 RX XO XO 2 = RX 2 + RO 2 cosR – 2 RX RO
F D С Записать для данного треугольника теорему косинусов для каждой стороны.
Следствие из теоремы косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, знак « ̶ », когда он острый.
A C B Н Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.
На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.
Определить вид треугольника со сторонами 5 , 6 ,7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2 , 3 , 4 см. > Устная работа
4 4 5 AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + AC 2 cosC С А В – 2 BC AC 5 AB 2 = 41 – 40 3 2 AB = 41 – 20 3 2 2 5 30 0 30 0 2 ? 4 Найти АВ
4 С А В? Найти угол В 2 2 3
4 С А В? Найти угол В 2 2 3 = 30 0 60 0
6 0 0 5 5 3 3 3 5 В D 2 = АВ 2 + AD 2 cos – 2 АВ AD В D 2 = 34 – 30 1 2 В D 2 = 19 2 2 В D = 19 ? А 6 0 0 D A B C AB С D – параллелограмм. Найти В D . 6 0 0
Домашнее задание Стр. 161-162, п. 109; По рабочей тетради № 93, 95, 96, 98
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."
Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...
Целью урока является изучение теоремы косинусов и её следствий, формирование у учащихся навыков решения задач по данной те...
Урок устанавливает личностный контакт учителя с учащимися через формирование целей урока, их взаимное принятие и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достиг...