Определив уравнение теоретической линии регрессии, необходимо дать количественную оценку тесноты связи между двумя рядами наблюдений. Линии регрессии, проведенные на рис. 4.1, б, в, одинаковы, однако на рис. 4.1, б точки значительно ближе (теснее) расположены к линии регрессии, чем на рис. 4.1, в.
При корреляционном анализе предполагается, что факторы и отклики носят случайный характер и подчиняются нормальному закону распределения.
Тесноту связи между случайными величинами характеризуют корреляционным отношением р ху. Остановимся подробнее на физическом смысле данного показателя. Для этого введем новые понятия.
Остаточная дисперсия 5^ ост характеризует разброс экспериментально
наблюдаемых точек относительно линии регрессии и представляет собой показатель ошибки предсказания параметра у по уравнению регрессии (рис. 4.6):
s2 =f. Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, если же, это свидетельствует о наличии линейной функциональной зависимости между переменными.
По аналогии со случайными переменными для случайного вектора так же вводятся количественные характеристики. Таких характеристик две:
1) вектор ожидаемых значений компонент
здесь– случайный вектор;– математические ожидания компонент случайного вектора;
2) ковариационная матрица
(3.15)
Ковариационная матрица одновременно содержит как информацию о степени неопределенности компонент случайного вектора, так и информацию о степени взаимосвязи каждой пары компонент вектора.
В экономике понятие случайного вектора и его характеристики, в частности, нашли применение при анализе операций на фондовом рынке. Известный американский экономист Гарри Марковиц предложил следующий подход. Пусть на фондовом рынке обращаются n рисковых активов . Доходность каждого актива за некоторый период времени есть случайная величина. Вводится вектор доходностей и соответствующий ему вектор ожидаемых доходностей . Вектор ожидаемых доходностей Марковец предложил рассматривать как показатель привлекательности того или иного актива, а элементы главной диагонали ковариационной матрицы – как величину риска для каждого актива. Диагональные элементы отражают величины связи соответствующих пар доходностей, входящих в вектор. Параметрическая модель фондового рынка Марковица получила вид
Эта модель положена в основу теории оптимального портфеля ценных бумаг .
Свойства операций вычисления количественных характеристик случайных переменных
Рассмотрим основные свойства операций вычисления количественных характеристик случайных переменных и случайного вектора.
Операции вычисления математического ожидания:
1) если случайная переменная х = с, где с – константа, то
2) если x и у – случайные переменные, аи–произвольные константы, то
3) если х и у независимые случайные переменные, то
Операции вычисления дисперсии:
1) если случайная переменная х = с, где с – произвольная константа, то
2) если x
3) если х случайная переменная, а с – произвольная константа, то
4) если х и y – случайные переменные, аи – произвольные константы, то