Теорема косинусов для треугольника презентация. Теорема косинусов презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

Самостоятельная работа:

2 вариант:

1 вариант:

Проверь ответы:

2 вариант:

1 вариант:

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

• Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере

Насир ад-Дин Ат-Туси

Теорема синусов :

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

• Замечание: Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства
• Где R – радиус описанной окружности.

1) Запишите теорему синусов для данного треугольника:

2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:

Найдите угол В.

Найдите длину стороны ВС.

Найдите длину стороны АВ.

Найдите MN.

Запишите формулу для вычисления:

• http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
• http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
• http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
• http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117

Тема « Теорема косинусов»

Тип урока : урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Обучающая цель урока :

знание учениками формулировки теоремы косинусов;

умение:

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

сторонам;

определять вид треугольника по трем известным сторонам.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

познавательной деятельности;

развития рефлексивных способностей;

создать условия для:

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.

2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа в группе.

Решение задачи . Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В (с;0), С(bcosA ; bsinA ).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов :

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos 90 o =0.

4этап. Физминутка .

6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника .

Вопрос для обсуж дения . Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

Зная, что имеет вид a 2 =b 2 +c 2 - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b 2 +c 2 =2bc×cosγ+a 2 .
Затем приведите показанное уравнение к несколько иному виду: b 2 +c 2- a 2 =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует в представленное ниже:

cosγ=√b 2 +c 2 -a2/2bc.
Вопрос для обсуж дения . Что можно находить по этой формуле?

Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариантам №1

Вариант №2

Вариант №3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cos 19/96

cos 0

cos 0

79 0

90 0

103 0

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

Если cos 0 , треугольник остроугольный;

Если cos 0 , треугольник прямоугольный;

Если cos 0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуж дения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона
– если с 2 < a 2 + b 2 , то треугольник остроугольный;
– если с 2 = a 2 + b 2 , то треугольник прямоугольный;
– если с 2 > a 2 + b 2 , то треугольник тупоугольный.

Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).

7 этап. Построение перспективного плана дальнейшей работы.

- вопрос учителя : Вопрос для обсуждения . Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

-ответы учеников

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

определять вид треугольника по трем известным сторонам

5этап. Закрепление. Мини - тес

Мини - тест

Условие

Варианты ответа

В треугольнике со сторонами m , n , p против стороны

p лежит угол α . Тогда справедлива следующая

формула:

А) m 2 n 2 p 2 2 np cosα

Б) m n 2 p 2 2 np cos α

В) p 2 m 2 n 2 mn cos α ;

Г) p m 2 n 2 mn cos α ;

Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Длины двух сторон треугольника равны и 3, а угол

между ними 45 0 . Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √ 5; Г) 5

В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Проверка.

Варианты ответа

1

В) p 2 m 2 n 2 mn cos α ;

2

В) тупоугольный.

3

В)√ 5

4

В) тупоугольный

Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»

Ученики: « Задать домашнее задание».

Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»

8этап. Домашнее задание. П.98, № 1025(д).

Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.

Обсуждение заполнение таблицы. Оценки

Приложения № 1. Разминка. Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

1. sin (90 ⁰ - α ) =

2. cos (90 ⁰ - α ) =

3. sin (180 ⁰ - α ) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. cos 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Теорема косинусов урок геометрии, 9 класс, УМК Л.С. Атанасян

• учитель математики и физики
• МБОУ СОШ № 4
• н.п. Енский Ковдорского района Мурманской области

• Изучить теорему косинусов
• Вырабатывать навыки решения задач на применение теоремы косинусов

• Изучение формулировки теоремы

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

• Теорема

• Доказательство теоремы

• В(c;0)

• С(bcosA ; bsinA )

• Решите треугольник

• α - ?

• β - ?

• γ - ?

• Решение

• α - А

• Доведите решение до конца

• Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).
• В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

• Исторические сведения

• Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Батта́ни (араб. أبو عبد الله محمد بن جابر بن سنان الحراني الصابي البتاني‎‎, Харран, 858 - Самарра, 929) - выдающийся средневековый астроном и математик, сабий по происхождению. В средневековой Европе был известен под латинизированным именем Albategnius.

• Ал-Баттани провёл в Ракке и Дамаске между 877 и 919 гг. множество астрономических наблюдений, составив по их результатам «Сабейский зидж». Точнее, чем Птолемей, определил наклон эклиптики к экватору - 23°35′41″, и предварения равноденствий - 54,5″ за год, или 1° за 66 лет. В математической части зиджа ал-Баттани описал методы вычисления сферических треугольников, развитые в дальнейшем другими математиками стран ислама.

• Региомонта́н (лат. Regiomontanus, подлинное имя - Йоганн Мюллер, нем. Johannes Müller) (6 июня 1436, Кёнигсберг (Бавария) - 6 июля 1476, Рим) - выдающийся немецкий астролог, астроном и математик. Имя Региомонтан, которое представляет собой латинизированное название родного города Йоганна Мюллера, по-видимому, впервые употребил Филипп Меланхтон в предисловии к своему изданию книги «Сфера мира» Сакробоско.

• Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату - Шарант. Отец Франсуа - прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем - в университете Пуатье (как и его родственник, Барнабе Бриссон), где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу.
• Около 1570 года подготовил «Математический Канон» - капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году.

• Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства - Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии.
• Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет отстранён от дел (1584-1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» - символический язык алгебры.

• При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение - «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) его голландским другом Ф. ван Схотеном.

• Решить № 1025(г, д)

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%EA%EE%F1%E8%ED%F3%F1%EE%E2
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB-%D0%91%D0%B0%D1%82%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема косинусов

Теорема 12.1 (Теорема косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA

AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + CA 2 cos Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный) A C B – 2 BC CA 90 0 C 0 AB 2 = BC 2 + CA 2 Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

XR 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон RO 2 + XO 2 cosO O X R – 2 RO XO RO 2 = RX 2 + XO 2 cosX – 2 RX XO XO 2 = RX 2 + RO 2 cosR – 2 RX RO

F D С Записать для данного треугольника теорему косинусов для каждой стороны.

Следствие из теоремы косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, знак « ̶ », когда он острый.

A C B Н Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определить вид треугольника со сторонами 5 , 6 ,7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2 , 3 , 4 см. > Устная работа

4 4 5 AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + AC 2 cosC С А В – 2 BC AC 5 AB 2 = 41 – 40 3 2 AB = 41 – 20 3 2 2 5 30 0 30 0 2 ? 4 Найти АВ

4 С А В? Найти угол В 2 2 3

4 С А В? Найти угол В 2 2 3 = 30 0 60 0

6 0 0 5 5 3 3 3 5 В D 2 = АВ 2 + AD 2 cos – 2 АВ AD В D 2 = 34 – 30 1 2 В D 2 = 19 2 2 В D = 19 ? А 6 0 0 D A B C AB С D – параллелограмм. Найти В D . 6 0 0

Домашнее задание Стр. 161-162, п. 109; По рабочей тетради № 93, 95, 96, 98

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."

Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...

Целью урока является изучение теоремы косинусов и её следствий, формирование у учащихся навыков решения задач по данной те...

Урок устанавливает личностный контакт учителя с учащимися через формирование целей урока, их взаимное принятие и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достиг...

Слайд 3

В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы. Немного из истории

Слайд 4

ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603) Виет встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).

Слайд 5

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sinx и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Придя к выводу, что эти обозначения весьма удобны, он стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Слайд 6

Сформулируйте теорему о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишите, чему равна площадь треугольника АВС А В С

Слайд 7

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов M F N А В С Запишите теорему синусов для треугольника MNF

Слайд 8

Запишите теорему синусов для треугольников: