Несохранение массы Новое представление о строении атома укрепило уверенность физиков в том, что законы сохранения применимы не только к окружающему нас повседневному миру, но и к тому огромному миру, который изучают астрономы. Но справедливы ли законы сохранения в

2. Вычисление скорости света Впервые идея о способе измерения скорости света была высказана Г. Галилеем в 1607 г. в следующем виде. Два наблюдателя с фонарями находятся на известном друг от друга расстоянии в прямой видимости. Первый из них открывает свой фонарь и, отмечая

4.7. Измерение скорости света Солнца В конце 40-х гг. ХХ века, во время подготовки в СССР дискуссии о сущности теории относительности, С. И. Вавиловым, президентом АН СССР, было решено поставить лабораторный опыт по проверке достоверности постулата с = const. В качестве

Вычисление скорости Вычисление начальной скорости ядра, которое никогда не должно упасть на Землю. Чтобы найти искомую скорость, спросим себя сначала: почему всякое ядро, выброшенное пушкой горизонтально, в конце концов, падает на Землю? Потому что земное притяжение

Скорости капризничают Какую скорость имеет пассажир относительно полотна железной дороги, если он идет к голове поезда со скоростью 5 километров в час, а поезд движется со скоростью 50 километров в час? Ясно, что скорость человека относительно полотна дороги равна 50 + 5 = 55

Как складывать скорости Если я ждал полчаса и еще час, то всего я потерял времени полтора часа. Если мне дали рубль, а затем еще два, то я всего получил три рубля. Если я купил 200 г винограда, а затем еще 400 г, то у меня будет 600 г винограда. Про время, массу и другие подобные

Скорости молекул Теория указывает, что при одной температуре средние кинетические энергии молекул mvср2/2 одинаковы. При нашем определении температуры эта средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. В виде

3.9. Массы и плотности астероидов Поскольку энергия, выделяющаяся при столкновении тела с Землей, пропорциональна массе тела, получение оценки массы является необходимым элементом оценивания угрозы со стороны каждого потенциально опасного тела.Масса m, объем v и средняя

считая, что масса частицы m (v ) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс частицы - сохраняющаяся величина.

Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета K ), а другое движется к нему со скоростью v . После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u , которую нам надо найти.

Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x ) в лабораторной системе гласит

В этой системе первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью –v . В результате образующаяся составная частица движется со скоростью –u (так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению с системой K ). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать u и v . Для этого в формулу

Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим

В этой системе отсчета, если мы развернем картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5.

Для определения компонент скоростей тел до и после столкновения в системе K "" воспользуемся формулами преобразования скоростей

Аналогичным образом, поскольку

Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K "" в проекции на ось x

Это равенство должно выполняться при любом V , в том числе и при V = 0

Разрешая это уравнение относительно m (v ), приходим к соотношению

Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для массы тела, зависящей от его скорости

(43)

Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости), или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света.

Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна

Важнейший результат специальной теории относительности относится к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохранения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело, движущееся со скоростью v и получающее энергию E 0 в форме излучения 3 без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию на величину

Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m 0 +E 0 /c 2 . Таким образом, можно сказать, что если тело получает энергию E 0 , то его масса покоя увеличивается на величину E 0 /c 2 . Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания.

Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E 0 , которые мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E 0 /c 2 в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя m 0 , которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в физике самостоятельное значение.

Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам (элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц - процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц. Формула Эйнштейна "работает" в ядерных реакторах атомных электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию. Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и выделяется огромное количество энергии.

Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции образуются два гамма-кванта - фотона очень большой энергии. Этот источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при полетах к далеким галактикам.

1 Поскольку при x << 1

2 Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка, либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц. Наиболее яркий пример такого рода - это открытие нейтрино.

3 Здесь E 0 - полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся вместе с телом.

ЛЕКЦИЯ 6

· Связь энергии и импульса в релятивистской механике.

· Эффект Доплера. Момент импульса.

· Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии.

· Комптон эффект. Антипротонный порог.

Основные идеи и заключения теории относительности были пояснены в § 5 и 6. Обычно считается, что более подробное пояснение релятивистских эффектов выходит за рамки общего курса физики. Однако вследствие значения, которое некоторые релятивистские эффекты имеют в ядерной физике, и познавательного интереса всех выводов теории относительности полезно рассмотреть связь релятивистских эффектов с законом пропорциональности массы и энергии. При этом обнаруживается, что очень многие релятивистские эффекты могут быть выведены из закона пропорциональности массы и энергии (в сочетании с другими законами сохранения) и к тому же могут быть выведены совершенно элементарно, что для некоторых из них недостижимо при обычном изложении теории относительности.

Такой вывод релятивистских эффектов дан ниже (§ 79 и 81-84)

Согласно закону только очень большим величинам энергии соответствует заметная масса. В связи с этим только для очень больших скоростей и больших значений потенциальной энергии проявляются отступления от формул классической механики и электродинамики. Релятивистские эффекты, в сущности, и представляют собой соотношения, уточняющие формулы классической механики и электродинамики для движений со скоростями порядка скорости света и для весьма больших значений потенциальной энергии, например для значений гравитационного потенциала, соизмеримых с величиной квадрата скорости света.

Вывод зависимости массы от скорости и формул для кинетической энергии из закона При увеличении скорости движения какого-либо тела или частицы масса этого тела или частицы возрастает на величину прироста кинетической энергии, отнесенного к квадрату скорости света. Этим объясняется зависимость массы электрона от скорости, установленная экспериментально и определяемая уравнением Лорентца - Эйнштейна (т. II, § 77).

Действительно, пусть частица с массой находящаяся под действием силы получает на пути вследствие ускорения приращение кинетической энергии

По закону пропорциональности массы и энергии прирост кинетической энергии должен повлечь за собой пропорциональное увеличение массы частицы:

Сопоставляя эти два уравнения для получаем:

Замечая, что в обеих частях уравнения мы имеем дифференциал натурального логарифма, интегрируем уравнение от до и соответственно от до получается уравнение Лорентца-Эйнштейна, обобщенное на любую частицу (независимо от того, несет ли частица электрический заряд или является нейтральной):

Принимая во внимание зависимость массы от скорости, нетрудно убедиться в том, что обычное выражение кинетической энергии должно быть заменено более точным

Действительно, если есть масса покоящейся частицы или масса той же частицы или тела при скорости то согласно формуле (1)

Из уравнения (5) если возвести обе его части в квадрат, имеем

следовательно,

Подставляя выражение в формулу и заменяя отношение из (5), получаем (6).

При малых скоростях движения (когда уточненная формула для кинетической энергии (6) совпадает с обычным выражением кинетической энергии Якин При скоростях движения, приближающихся к скорости света, кинетическая энергия стремится к величине гдет - масса движущейся частицы, возрастающая при увеличении скорости согласно формуле (5). Достижение предела возможно только для частиц, не обладающих массой покоя т. е. для фотонов, энергия движения которых согласно (6) И в полном соответствии с законом оказывается равной

Чем ближе скорость движения к скорости света, тем быстрее происходит возрастание массы. В помещенной ниже таблице приведены отношения прироста массы к массе покоя для скоростей, близких к скорости света, и значения кинетической энергии электрона и протона, выраженные в миллионах электроновольт.

Зависимость прироста массы и кинетической энергии электрона и протона от скорости (при скоростях, близких к скорости света)

Запомните, что скоростью, соответствующей случаю релятивистской механики, является скорость, близкая к скорости света. В этой ситуации вступают в силу преобразования координат Лоренца.

Релятивистский импульс

Обратите внимание на вид соотношения релятивистского импульса. Его можно разделить на две части: первая часть произведения – это отношение классической массы тела к релятивистской добавке, вторая часть – это скорость тела. Если провести аналогию с формулой для классического импульса, то первую часть релятивистского импульса можно принять за общую массу, свойственную случаю движения с большими скоростями.

Релятивистская масса

Если же скорость тела становится близка к скорости света, то знаменатель дроби выражения для массы стремится к нулю, а сама она стремится к бесконечности. Таким образом, при увеличении скорости тела его масса также растет. Причем по виду выражения для массы тела становится понятно, что изменения становятся заметны только тогда, когда скорость тела достаточно велика и отношение скорости движения к скорости света сравнимо с единицей.