Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических задач. Интеграл и его применение Интегралы и их применение

План

1. История интегрального исчисления.

2. Определение и свойства интеграла.

3. Криволинейная трапеция.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Набор стандартных картинок.

6. Применение интеграла.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”

круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx ­- начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Отдел образования гомельского городского

Исполнительного комитета

Государственное учреждение образования

«Гимназия №71 г. Гомеля»

Конкурсной работы

«Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab»

Исполнитель: Орехова Ксения Ивановна,

учащаяся 9Б класса

Руководитель: Горский Сергей Михайлович,

учитель информатики

Государственного учреждения образования

«Гимназия №71 г. Гомеля»

Введение

1. История интегрального и дифференциального исчисления

2. Дифференциал в физике

3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

4. Дифференциальные уравнения

5. Примеры решения задач в matlab

Список использованных источников

Введение

Факультативный курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» имеет своей целью изучение курса математического анализа на основе практического освещения материала, на основе использования методов данного раздела математики для решения задач геометрии и физики; а так же реализации этих задач на компьютере (с помощью пакета MATLAB).

В результате можно сказать, что такое объёмное, не конкретное формулирование темы и цели факультативного курса даёт возможным его реализацию в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» направлен на изучение определённого интеграла.

Место темы в школьном курсе математики .

Факультативный курс «Применение интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» углубляет материал курса алгебры и начал анализа в одиннадцатом классе и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс математики. Это темы «Производная функции», «Определённый интеграл» в алгебре, и некоторые темы в геометрии и физике. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

Развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьютере. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB, ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки изучения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета расширения SymbolicMathToolbox.

Основные понятия факультативного курса : определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, объём тела и др.

Цели факультативного курса.

1. Обучающие : провести практическое закрепление по теме «Определённый интеграл», познакомить учащихся с пакетом математических и инженерных вычислений MATLAB 6.1, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.

3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).

Программа:

Построение астроиды

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

h=300; figure("Units","Pixels","position",

xlabel("x"); ylabel("y");

axis([-3, 3, -3, 3]);

% Поверхность вращения

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

Meshgrid(t,v);

set(hFigure,"Color",);

set(hAxes,"Color",);

xlabel("x"); ylabel("y"); zlabel("z");

hPlot=plot(X,Y);

set(hPlot,"LineWidth",5)

set(hPlot,"Color",)

Задача 5. Построить в полярных координатах лемнискату Бернулли: .

Программа:

for p=0:pi/60:2*pi

if 2*a^2*cos(2*p)>=0

set(hFigure,"Color",);

hP=polar(phi,r);

set(hP,"LineWidth",2);

Результат (рис. 17):

Задача 6. Используя численные и символьные вычисления в MATLAB найти: а) определённый интеграл; б) двойной интеграл; в) поверхностный интеграл (1-го рода).

а) Классической задачей численного анализа является задача о вычислении определённых интегралов. Из всех методов вычисления определённых интегралов самым простым, но в то же время довольно успешно применяемым является метод трапеции. В MATLAB для этого метода предусмотрена функция: trapz(x,y) (команда edit trapz позволяет вывести текст этой функции). Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве y. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину – шаг интегрирования. Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность.

Задача 7. Вычислить интеграл методом трапеции с различными шагами интегрирования (для наблюдения 14 десятичных цифр после запятой нужно предварительно ввести и исполнить команду formatlong).

Программа: Результат:

functiont=trap(dx)

y=sin(x).*exp(-x);

t=trapz(x,y); >> format long

ans = 0.42255394026468

>> trap(0.1)

ans = 0.50144886299125

>> trap(0.01)

ans = 0.50226667654901

>> trap(0.001)

ans = 0.50227485744814

Метод трапеций является очень универсальным методом и хорошо подходит интегрирования не слишком гладких функций. Если же функция под знаком интеграла является гладкой (существуют и непрерывны несколько первых производных), то лучше применять методы интегрирования более высоких порядков точности. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.

В системе МАТLАВ методы интегрирования более высоких порядков точноcти реализуются функциями quad (метод Симпсона) и quad8 (метод Ньютона-Котеса 8-го порядка точности). Оба этих метода являются к тому же адаптивными . Последнее означает, что пользователю нет необходимости контролировать достигнутую точность результата путем сравнения последовательных значении, соответствующих разным шагам интегрирования. Все это указанные данные функции выполняют самостоятельно.

У функции quad8 более высокий порядок точности по сравнению с функцией quad, что очень хорошо для гладких функций, так как обеспечивается более высокая точность результата при большем шаге интегрирования (меньшем объеме отчислений). Однако функция quad может иметь не меньшее, а даже большее быстродействие для не слишком гладких функций (разрывны или велики по абсолютной величине вторая или третья производные). В любом случае обе эти функции по умолчанию обеспечивают одинаковую относительную точность результата, равную 0.001.

Как и многие другие функции системы МАТLАВ, функции quad и quad8 могут принимать различное количество параметров. Минимальный формат вызова этих функций включает в себя три параметра: имя подынтегральной функции, нижний предел интегрирования и верхний предел интегрирования. Если применяется четвертый параметр, то он является требуемой относительной точностью результата вычислений. Кстати, если обе эти адаптивные функции не могут обеспечить получение необходимой точности (расходящийся или близкий к этому интеграл), то они возвращают символическую бесконечность Inf.

Для вычисления определённых интегралов символьными методами можно использовать два варианта решения: напрямую или по этапам (с подстановкой символьных чисел).

Задача 8. Вычислить определённый интеграл .

Программа: Результат:

a1=sym("0"); b1=sym("2");

% 1 способ: работа с подстановкой символьных чисел

symbol=int(w,"t",a,b)

symbol2a=subs(symbol,,)

number=vpa(symbol2a)

% 2 способ: работа с символьными числами

symbol2b=int(w,"t",a1,b1) symbol =

2.6666666666666666667

Задача 9. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением астроиды вокруг оси Ox : . (поверхность визуализирована в задаче 2).

Программа: Результат:

t1=sym("0"); t2=sym("pi/2"); a=sym("1");

x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;

f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);

symbol=simplify(int(4*pi*f,"t",t1,t2))

number=vpa(symbol) symbol =

б) Двойные интегралы сводятся к вычислению повторных определённых интегралов, один из которых является внутренним, а другой внешним. Внутренний интеграл является подынтегральной функцией для внешнего интеграла. Можно было бы для численных вычислений написать некоторую цепочку вычислений, в которой многократные вычисления подынтегральной функции сводились бы к многократным вызовам функции quad. Однако нет необходимости делать это самостоятельно, так как в системе MATLAB для этого имеется специальная функция dblquad.

Задача 8. Вычислить интеграл , где .

Программа:

Результат:

function z=fof(x,y)

z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> format long

>> dblquad("fof",0,1,1,2)

1.16777110966887

Задача 9. С помощью символьных вычислений получить следующие интегралы , , , , , где .

Программа:

z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");

i2=int(z,"x",0,1)

i3=int(int(z,"x"),"y")

i4=int(int(z,"x",1,2),"y",0,1)

i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =

1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)

1/2*sin(y)-y*cos(1)+y

1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)

1/2*cos(2)-cos(1)+3/2

Так как символьные вычисления не дают погрешности метода вычисления и сами по себе они более точные, то можно увидеть, что функция dblquad даёт точный результат до 7 знака после запятой.

в) Из высшей математики известно, что к определенным и двойным интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например поверхностный интеграл 1-го рода. Так как при его нахождении используется дифференцирование под знаком интеграла, то использовать численные вычисления некорректно.

Задача 10. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: , где S – часть плоскости , лежащая в первом октанте (по теореме 2).

Программа: Результат:

fun=subs(f2,z,f1)

d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2

syms x1 x2 y1 y2

intpov1=int(int(fun*sqrt(d),"y",y1,y2),"x",x1,x2)

number=vpa(intpov1) fun =

Задача 11. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода , где S - сфера (по теореме 3).

Сначала создадим функцию, описывающую поверхность по которой происходит интегрирование:

function =pov;

syms x y z u v a

x=a*sin(u)*cos(v);

y=a*sin(u)*sin(v);

Программа:

syms x y z u v a

f=sym("x^2+y^2");

E=diff(x0,"u")^2+diff(y0,"u")^2+diff(z0,"u")^2;

G=diff(x0,"v")^2+diff(y0,"v")^2+diff(z0,"v")^2;

F=diff(x0,"u")*diff(x0,"v")+diff(y0,"u")*

diff(y0,"v")+diff(z0,"u")*diff(z0,"v");

W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);

syms u1 u2 v1 v2

intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)

intpov2=simplify(intpov)

number=vpa(intpov2)

int=subs(intpov2,a,b) intpov =

4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)

8/3*a^4*pi*csgn(a^2)

8.377580412*a^4*csgn(a^2)

Примечание. Функция сsgn является специфической в MATLAB. Она не может быть введена пользователем и возникает только при оперировании с функцией simplify (упрощение символьных выражений). Например:

>> syms a t

>> t=csgn(a^2)*a^2

Undefined function or variable "csgn".

>> simplify((a^4)^(1/2))

>> simplify((a^8)^(1/4))

>> simplify((a^9)^(1/3))

1. Ануфриев, И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.х / И.Е. Ануфриев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 736 с.

2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман, И.Г. Араманович, А.Ф. Бермант и др. - М.: Наука, 1966. - 456 с.

3. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 1966. - 736 с.

4. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MatLab / А. Гультяев. - СПб.: Питер, 2001. - 553 с.

5. Демидович, Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б.П. Демидович, Г.С. Бараненков, В.А. Ефименко и др. - М.: Наука, 1966. - 472 с.

6. Лазарев, Ю.Ф. MatLab 5.х / Ю.Ф. Лазарев. - Киев: BHV, 2000. - 388 с.

7. Мартынов, Н.Н. Matlab 5.х: вычисления, визуализация, программирование / Н.Н. Мартынов, А.П. Иванов. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. - 336 с.

8. Куринной, Г.Ч. Математика: Справочник / Г.Ч. Куринной. - Харьков: Фолио; Ростов на Дону: Феникс, 1997. - 463 с.

9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов в 2 томах / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1966. - 2 т. - 312 с.

10. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 томах / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - т. 1-3.

11. Сайты http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru.

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский

Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.

Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Защита проекта:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике;

2. Решение упражнений.

Ход урока

Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.

2 ученик: Свойства интеграла

3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).

4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )

5 ученик: Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0

7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n -> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)

Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла Вариант 1 Вариант 2 Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.

«Омская государственная медицинская академия»

Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации

на тему: применение определенного интеграла

в медицине

выполнила студент 1 курса

отделения Лечебное дело

группа 102Ф

Глушнева Н.А.

Введение

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Кант (1742-1804) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Леонардо Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия.

Математика всем нужна. И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя быть докой в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии... Ведь современная медицина не может обходиться без сложнейшей техники.

На сегодня невозможно изучение гемодинамики- движения крови по сосудам без применения интеграла.

В течение длительного времени катетеризация правых отделов сердца являлась единственным методом исследования, позволявшим оценивать состояния правых отделов сердца, получать характеристики внутрисердечного кровотока, определять давление в правых отделах сердца и легочной артерии.
Основное преимущество эхокардиографического исследования (ЭхоКГ) заключается в том, что неинвазивно в реальном режиме времени можно оценить размеры и движение сердечных структур, получить характеристики внутрисердечной гемодинамики, определить давление в камерах сердца и легочной артерии. Доказана хорошая сопоставимость результатов ЭхоКГ-исследования с данными, полученными при катетеризации сердца.
ЭхоКГ-исследование позволяет не только выявить наличие легочной гипертензии, но и исключить ряд заболеваний, которые являются причиной вторичной легочной гипертензии: пороки митрального клапана, врожденные пороки сердца, дилатационная кардиомиопатия, хронический миокардит.

Однако, ближе к практике. Для начала найдем линейную скорость кровотока

Изменение линейной скорости кровотока в различных сосудах

Это путь, проходимый в единицу времени частицей крови в сосуде. Линейная скорость в сосудах разного типа различна (см. рисунок) и зависит от объемной скорости кровотока и площади поперечного сечения сосудов. В практической медицине линейную скорость кровотока измеряют с помощью ультразвукового и индикаторного методов, чаще определяют время полного кругооборота крови, которое равно 21-23 с.

Для его определения в локтевую вену вводят индикатор (эритроциты, меченные радиоактивным изотопом, раствор метиленового синего и др.) и отмечают время его первого появления в венозной крови этого же сосуда в другой конечности.

Для начала вспомним, что интеграл- это математический объект, который возник исторически на основе потребности решения различных прикладных задач физики и техники. Это и физические приложения определенного интеграла: вычисление пути материальной точки, движущейся по прямолинейной или криволинейной траектории по скорости ее движения.

Те физические величины, которые определяются с помощью интеграла - как правило, называются интегральными, а те величины, через которые выражаются интегральные величины - дифференциальными. Например, скорость тела в точке - это дифференциальная характеристика тела, а масса тела - интегральная.

Дифференциальные характеристики определяются значением в точке и как правило различны в различных точках пространства.

Интегральные характеристики всегда выражают свойства объектов, относящиеся к целой области пространства. Например, масса характеризует тело целиком как некоторый объект занимающий область пространства. Путь, пройденный телом - это тоже интегральная характеристика, поскольку она характеризует целую траекторию, состоящую из множества точек, а скорость различна в каждой точке траектории и характеризует каждую точку в отдельности.

Возникает вопрос - как же вычислить интегральную скорость для целого сосуда (артерии или вены) , зная линейную скорость кровотока. Очень просто: нужно

• разбить всю область пространства на отдельные достаточно малые части (например взаимно перпендикулярными плоскостями). В этом случае мы получим внутри тела множество мелких кубиков, внутри которых дифференциальную характеристику условно считаем неизменной, постоянной.
• умножить значение дифференциальной характеристики внутри каждого кубика на значение объема этого кубика и просуммировать такие произведения. На этом этапе мы получаем интегральную сумму. Интегральная сумма не равна интегралу в точности, но может служить его приближенным значением.
• перейти к пределу интегральной суммы, когда объем кубиков разбиения тела стремится к нулю. На этом этапе мы получаем точное значение интеграла линейной скорости.

Ниже приведены расчеты ударного объема (ударный объём сердца (син.: систолический объем крови, систолический объем сердца, ударный объем крови) - объем крови (в мл), выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу)- одной из основных величин в ЭХОкг, рассчитываемых при помощи интеграла линейной скорости кровотока.

а - Схемы расчета ударного объема, а - с использованием уравнения непрерывности потока, б - с использованием уравнения непрерывности потока при наличии значительной митральной регургитации.

VTI = V cp ЕТ,

где CSA - площадь поперечного сечения, VTI - интеграл линейной скорости потока, V cp - средняя скорость потока в выносящем тракте левого желудочка, ЕТ - время выброса.

В том случае, когда присутствует гемодинамически значимая митральная регургитация (более 2-й степени), тотальный ударный объем левого желудочка рассчитывается по формуле:

TSV = FSV + RSV,

[Интеграл линейной скорости (FVI, или VTI)] = [Время кровотока (ET)] х [Средняя скорость кровотока (Vmean)];

Сердечный выброс может быть определен по интегралу линейной скорости аортального и легочного потока.

В завершении хочу добавить, что моя работа рассчитана не на математика, от и до разбирающегося в интегрировании, а на любого человека, проявившего интерес к применению интеграла в медицине. Поэтому я старалась сделать ее максимально доступной для восприятия и интересной даже ребенку.

Список литературы:

1. Болезни сердца и сосудов http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Гемодинамика http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Знак интеграла http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Медицинский консилиум http://www.consilium-medicum. com/article/7144
5. Основные уравнения - Сердце http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Практическое руководство по ультразвуковой диагностике http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Слайд 2

Историческая справка

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, т.е. задачами на вычисление площадей. Вычислениями площадей поверхностей и объемов тел занимались еще математики Древней Греции и Рима. Первым европейским математиком, получившим новые формулы для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном И. Кеплер. После исследований ряда ученых (П.Ферма, Д.Валлиса) И. Барроу открыл связь между задачами отыскания площадей и проведением касательной (т.е. между интегрированием и дифференцированием). Исследование связи между этими операциями, свободное от геометрического языка, было дано И.Ньютоном и Г. Лейбницем. Современное обозначение интеграла восходит к Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криволинейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок шириной d и высоты f(x). Сам знак интеграла является стилизованной латинской буквой S (summa). Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.

Слайд 3

Краткая история интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение площадей, а также объемов тел связаны с именем Архимеда(287-212 до н. э.) Развивая идеи предшественников Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сферах», он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса и цилиндра. Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах великого английского математика Иссака Ньютона(1643-1716) и великого немецкого математика Готфрида Лейбница(1646-1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями интегрального исчисления. Они открыли важную теорему, носящую их имя: где f(x) – функция, интегрируемая на отрезке , F(x) – одна из ее первообразных. Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. В XVIII в. крупнейший представитель математического анализа Леонард Эйлер эти понятия обобщил в своих трудах. Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия интегрального исчисления. Обычно при этом отмечают заслуги французского математика Огюстена Коши и немецкого математика Георга Римана. Само слово интеграл придумал Я.Бернулли(1690г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Обозначение определенного интеграла ввел Иосиф Бернулли, а нижние и верхние пределы Леонард Эйлер.

Слайд 4

Неопределенный интеграл

Математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня. Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(х) находить ее производную F´(х). Существует действие, обратное дифференцированию – это интегрирование – нахождение функции F(х) по известной ее производной f(x) = F´(х)или дифференциалу f(x)dx. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если F´(х) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.Если функция f(x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все ее первообразные содержатся в выражении F(х) +С, где С – постоянная. Неопределенным интегралом от функции f(x)(или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение ∫f(x)dx = F(х) +С. Здесь ∫ – знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Свойства неопределенного интеграла Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: (∫ f(x)dx)´ = f(x) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d (∫ f(x)dx) = f(x) dx Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:∫d (F(x)) = F(х) +С Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫a f(x) dx =a ∫f(x) dx Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ dx = ∫ dx ± ∫ dx

Слайд 5

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла выводится через криволинейную трапецию. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями y = f(x), y = 0, x=a, x=b.Площадь криволинейной трапеции выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. = F (x)|ba= F(b) – F(a) Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла: Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный. Если верхняя и нижняя границы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю. Если отрезок интегрирования разбить на несколько частей, определенный интеграл на отрезке будет равен сумме определенных интегралов этих отрезков. Определенный интеграл от суммы функций, заданных на отрезке равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций. Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла. Оценка определенного интеграла: если m ≤ f(x) ≤ M на , то m (b – a)

Слайд 6

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (см. рисунок), называется криволинейной трапецией. Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Очевидно, что эта площадь зависит от разбиенияотрезка на частичные отрезки и выбора количества точек разбиения. Чем меньше ∆ х, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы. Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Слайд 7

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Здесь могут представиться следующие случаи: 1) данный интеграл берется непосредственно по формуле соответствующего табличного интеграла; 2) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применением свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам. 2. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: х = φ (t), где φ (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ∫f(x) = ∫f [φ (t)] φ΄ (t) d(t); 2) u = ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: ∫f [ψ(х)] ψ ΄(х) d(х) = ∫f (u) du 3. Интегрирование по частям Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ∫udv = uv - ∫v du, где u = φ (x), v = ψ(х) – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫udv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.

Слайд 8

Таблица неопределенных интегралов