Пусть r Í Х х Y .
Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, у которого каждому элементу соответствует ровно один такой, что пара принадлежит отношению или такого не существует совсем : или.
Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, длякоторого выполняется: .
Всюду определённое отношение – бинарное отношение r , для которого D r =Х ("нет одиноких х ").
Сюръективное отношение – бинарное отношение r , для которого J r = Y ("нет одиноких y ").
Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у .
Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.
Например :
Пусть r = { (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 }.
Отношение r - функционально,
не всюду определено ("есть одинокие х "),
не инъективно (есть разные х, у ),
не сюръективно ("есть одинокие у "),
не биекция.
Например:
Пусть Ã= {(x,y) Î R 2 | y = x+1}
Отношение Ã- функционально,
Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х "),
Отношение Ã- инъективно (нет разных х, которым соответствуют одинаковые у ),
Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у "),
Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.
Например:
Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N 4 .
Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)
Отношение j - не всюду определенно D j ={1,2,3}¹ N 4
Отношение j - не сюръективно I j ={1,2,3}¹ N 4
Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).
Задание к лабораторной работе
1. Заданы множества N1 и N2 . Вычислить множества:
(N1 хN2) Ç (N2 хN1) ;
(N1 хN2) È (N2 хN1) ;
(N1 Ç N2) x(N1 Ç N2) ;
(N1 È N2) x(N1 È N2) ,
где N1 = { цифры номера зачетной книжки, три последние};
N2 = { цифры даты и номера месяца рождения}.
2. Отношения r иg заданы на множествеN 6 ={1,2,3,4,5,6}.
Описать отношения r ,g ,r -1 , r ○g, r - 1 ○g списком пар.
Найти матрицы отношений r иg .
Для каждого отношения определить область определения и область значений.
Определить свойства отношений.
Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.
Выделить отношения порядка и классифицировать их.
1) r = { (m ,n ) | m > n }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}
2) r = { (m ,n ) | (m - n) делится на 2}
g = { (m ,n ) | m делитель n }
3) r = { (m ,n ) | m < n }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3}
4) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}
g = { (m ,n ) | m 2 =n }
5) r = { (m ,n ) | m / n - степень 2 }
g = { (m ,n ) | m = n }
6) r = { (m ,n ) | m / n - четно}
g = { (m ,n ) | m ³n }
7) r = { (m ,n ) | m / n - нечетно }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4}
8) r = { (m ,n ) | m * n - четно }
g = { (m ,n ) | m £n }
9) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 5}
g = { (m ,n ) | m делится наn }
10) r = { (m ,n ) | m - четно, n - четно}
g = { (m ,n ) | m делительn }
11) r = { (m ,n ) | m = n }
g = { (m ,n ) | (m + n) £5 }
12) r ={ (m ,n ) | m и n имеют одинаковый остаток от деления на 3}
g = { (m ,n ) | (m -n) ³2}
13) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 2 }
g = { (m ,n ) | 2 £(m -n) £4}
14) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 3 }
g = { (m ,n ) | m ¹n }
15) r = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель }
g = { (m ,n ) | m 2 £n }
16) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 2 }
g = { (m ,n ) | m < n +2 }
17) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4 }
g = { (m ,n ) | m £n }
18) r = { (m ,n ) | m делится нацело наn }
g = { (m ,n ) | m ¹n , m- четно}
19) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3 }
g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}
20) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 4 }
g = { (m ,n ) | m ¹n }
21) r = { (m ,n ) | m - нечетно, n - нечетно}
g = { (m ,n ) | m £n , n- четно}
22) r = { (m ,n ) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }
g = { (m ,n ) | (m -n) ³1}
23) r = { (m ,n ) | m * n - нечетно }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}
24) r = { (m ,n ) | m * n - четно }
g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}
25) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}
g = { (m ,n ) | m не делится нацело на n }
26) r = { (m ,n ) | m = n }
g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }
27) r = { (m ,n ) | (m - n)- четно}
g = { (m ,n ) | m делитель n }
28) r = { (m ,n ) | (m -n) ³2}
g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }
29) r = { (m ,n ) | m 2 ³ n }
g = { (m ,n ) | m / n - нечетно}
30) r = { (m ,n ) | m ³n, m - четно}
g = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель, отличный от 1}
3. Определить является ли заданное отношение f - функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R - множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.
Выполнить это же задание для отношений r и g из пункта 3 лабораторной работы.
1) f={ (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x }
2) f={ (x, y) Î R 2 | x ³y }
3) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x }
4) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x, x ³ 0 }
5) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1 }
6) f={ (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1 }
7) f={ (x, y) Î R 2 | x + y £ 1 }
8) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 }
9) f={ (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1}
10) f={ (x, y) Î R 2 | y = -x 2 }
11) f={ (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1 }
12) f={ (x, y) Î R 2 | x = y -2 }
13) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 ³1, y > 0 }
14) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x > 0 }
15) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 £ 1, x > 0 }
16) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x ³ 0 }
17) f={ (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) }
18) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 /cos x }
19) f={ (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3 }
20) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| }
21) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3 x }
22) f={ (x, y) Î R 2 | y = e -x }
23) f ={ (x, y) Î R 2 | y = e | x | }
24) f={ (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 }
25) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 }
26) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) }
27) f={ (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 }
28) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2 }
29) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 +2x-5)}
30) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 3 , y ³ - 2 }.
Контрольные вопросы
2.Определение бинарного отношения.
3.Способы описания бинарных отношений.
4.Область определения и область значений.
5.Свойства бинарных отношений.
6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.
7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.
8.Классы вычетов по модулю m.
9.Функциональные отношения.
10. Инъекция, сюръекция, биекция.
Лабораторная работа № 3
Отношения. Основные понятия и определения
Определение 2.1. Упорядоченной парой <x , y > называется совокупность двух элементов x и y , расположенных в определенном порядке.
Две упорядоченные пары <x , y > и <u , v> равны межу собой тогда и только тогда, когда x = u и y = v.
Пример 2.1 .
<a , b >, <1, 2>, <x , 4> – упорядоченные пары.
Аналогично можно рассматривать тройки, четверки, n -ки элементов <x 1 , x 2 , … x n >.
Определение 2.2. Прямым (или декартовым )произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар, таких, что первый элемент каждой пары принадлежит множеству A , а второй – множеству B :
A ´ B = {<a , b >, ç a Î А и b Ï В }.
В общем случае прямым произведением n множеств А 1 , А 2 ,… А n называется множество А 1 ´ А 2 ´ …´ А n , состоящее из упорядоченных наборов элементов <a 1 , a 2 , …, a n > длины n , таких, что i- ый a i принадлежит множеству А i , a i Î А i .
Пример 2.2 .
Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}.
Тогда A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.
Пример 2.3 .
Пусть А = {x ç0 £ x £ 1} и B = {y ç2 £ y £ 3}
Тогда A ´ B = {< x , y >, ç0 £ x £ 1и2 £ y £ 3}.
Таким образом, множество A ´ B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2и y = 3.
Французский математик и философ Декарт впервые предложил координатное представление точек плоскости. Это исторически первый пример прямого произведения.
Определение 2.3. Бинарным (или двуместным )отношением r называется множество упорядоченных пар.
Если пара <x , y > принадлежит r , то это записывается следующим образом: <x , y > Î r или, что то же самое, xr y .
Пример2.4 .
r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}
Аналогично можно определить n -местное отношение как множество упорядоченных n -ок.
Так как бинарное отношение – множество, то способы задания бинарного отношения такие же, как и способы задания множества (см. разд. 1.1). Бинарное отношение может быть задано перечислением упорядоченных пар или указанием общего свойства упорядоченных пар.
Пример 2.5 .
1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>} – отношение задано перечислением упорядоченных пар;
2. r = {<x , y > çx + y = 7, x , y – действительные числа} – отношение задано указанием свойства x + y = 7.
Кроме того, бинарное отношение может быть задано матрицей бинарного отношения . Пусть А = {a 1 , a 2 , …, a n } – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n , элементы которой c ij определяются следующим образом:
Пример 2.6 .
А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение r тремя перечисленными способами.
1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.
2. r = {< a i , a j > ça i < a j ; a i , a j Î А } – отношение задано указанием свойства "меньше" на множестве А .
3. – отношение задано матрицей бинарного отношения C .
Пример 2.7 .
Рассмотрим некоторые бинарные отношения.
1. Отношения на множестве натуральных чисел.
а) отношение £ выполняется для пар <1, 2>, <5, 5>, но не выполняется для пары <4, 3>;
б) отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар <3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, но не выполняется для пары <3, 28>.
2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.
а) отношение "находиться на одинаковом расстоянии от точки (0, 0)" выполняется для точек (3, 4) и (–2, Ö21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);
б) отношение "быть симметричным относительно оси OY " выполняется для всех точек (x , y ) и (–x , –y ).
3. Отношения на множестве людей.
а) отношение "жить в одном городе";
б) отношение "учиться в одной группе";
в) отношение "быть старше".
Определение 2.4. Областью определения бинарного отношения r называется множество D r = {x çсуществует y, что xr y}.
Определение 2.5. Областью значений бинарного отношения r называется множество R r = {y çсуществует x, что xr y}.
Определение 2.6. Областью задания бинарного отношения r называется множество M r = D r ÈR r .
Используя понятие прямого произведения, можно записать:
r Î D r ´ R r
Если D r = R r = A , то говорят, что бинарное отношение r задано на множестве A .
Пример 2.8 .
Пусть r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.
Тогда D r = {1, 3, 4}, R r = {3, 2}, M r = {1, 2, 3, 4}.
Операции над отношениями
Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы для отношений.
Пример 2.9 .
r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.
r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.
r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.
r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.
Пример 2.10 .
Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:
r 1 – " £ "; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – " ³ "; r 5 – " > ".
r 1 = r 2 È r 3 ;
r 2 = r 1 Ç r 4 ;
r 3 = r 1 \ r 2 ;
r 1 = ;
Определим еще две операции над отношениями.
Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению r (обозначается r – 1), если
r – 1 = {<x , y > ç< y, x > Î r }.
Пример 2.11 .
r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.
Пример 2.12 .
r = {<x , y > ç x – y = 2, x , y Î R }.
r – 1 = {<x , y > ç< y, x > Î r } = r – 1 = {<x , y > çy – x = 2, x , y Î R } = {<x , y > ç– x + y = 2, x , y Î R }.
Определение 2.8. Композицией двух отношений r и s называется отношение
s r = {<x , z > çсуществует такое y , что <x , y > Î r и < y, z > Îs }.
Пример 2.13 .
r = {<x , y > çy = sinx }.
s = {<x , y > çy = Öx }.
s r = {<x , z > çсуществует такое y , что <x , y > Î r и < y, z > Îs } = {<x , z > çсуществует такое y , что y = sinx и z = Öy } = {<x , z > ç z = Ösinx }.
Определение композиции двух отношенийсоответствует определению сложной функции:
y = f (x ), z = g (y ) Þ z = g (f (x )).
Пример 2.14 .
r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
Процесс нахождения s r в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x , y , z . для каждой пары <x , y > Î r нужно рассмотреть все возможные пары < y, z > Îs (табл. 2.1).
Таблица 2.1
| <x , y > Î r | < y, z > Îs | <x , z > Îs r |
| <1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> | <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> | <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:
s r = {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.
Свойства отношений
Определение 2.9. Отношение r называется рефлексивным на множестве X , если для любого x Î X выполняется xr x .
Из определения следует, что всякий элемент < x , x > Î r .
Пример 2.15 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r рефлексивно. Если X – конечное множество, то главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы. Для нашего примера
б) Пусть X r отношение равенства. Это отношение рефлексивно, т.к. каждое число равно самому себе.
в) Пусть X – множество людей и r отношение "жить в одном городе". Это отношение рефлексивно, т.к. каждый живет в одном городе сам с собой.
Определение 2.10. Отношение r называется симметричным на множестве X , если для любых x , y Î X из xry следует yr x .
Очевидно, что r симметрично тогда и только тогда, когда r = r – 1 .
Пример 2.16 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r симметрично. Если X – конечное множество, то матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. Для нашего примера
б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение симметрично, т.к. если x равно y , то и y равно x .
в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение симметрично, т.к. если x учится в одной группе с y , то и y учится в одной группе с x .
Определение 2.11. Отношение r называется транзитивным на множестве X , если для любых x , y , z Î X из xry и yr z следует xr z .
Одновременное выполнение условий xry , yr z , xr z означает, что пара <x , z > принадлежит композиции r r . Поэтому для транзитивности r необходимо и достаточно, чтобы множество r r являлось подмножеством r , т. е. r r Í r .
Пример 2.17 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>}. Отношение r транзитивно, т. к. наряду с парами <x , y >и <y , z >имеется пара<x , z >. Например, наряду с парами <1, 2>, и <2, 3> имеется пара <1, 3>.
б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение транзитивно, т.к. если x £ y и y £ z , то x £ z .
в) Пусть X – множество людей и r отношение "быть старше". Это отношение транзитивно, т.к. если x старше y и y старше z , то x старше z .
Определение 2.12. Отношение r называется отношением эквивалентности на множестве X , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X .
Пример 2.18 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}. Отношение r является отношением эквивалентности.
б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение эквивалентности.
в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение эквивалентности.
Пусть r X .
Определение 2.13. Пусть r – отношение эквивалентности на множестве X и x Î X . Классом эквивалентности , порожденным элементом x , называется подмножество множества X , состоящее из тех элементов y Î X , для которых xry . Класс эквивалентности, порожденный элементом x , обозначается через [x ].
Таким образом, [x ] = {y Î X | xry }.
Классы эквивалентности образуют разбиение множества X , т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X .
Пример 2.19 .
а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [x ] = {x }, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.
б) Класс эквивалентности, порожденный парой <x , y > определяется соотношением:
[<x , y >] = .
Каждый класс эквивалентности, порожденный парой <x , y >, определяет одно рациональное число.
в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.
Определение 2.14. Отношение r называется антисимметричным на множестве X , если для любых x , y Î X из xry и yr x следует x = y .
Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара <x , y > принадлежит одновременно r и r – 1 , должно выполняться равенство x = y . Другими словами, r Ç r – 1 состоит только из пар вида < x , x >.
Пример 2.20 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r антисимметрично.
Отношение s = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>} неантисимметрично. Например, <1, 2> Îs, и <2, 1> Îs , но 1 ¹2.
б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т.к. если x £ y , и y £ x , то x = y .
Определение 2.15. Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X . Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом £, если это не приводит к недоразумениям.
Отношение, обратное отношению частичного порядка будет, очевидно, отношением частичного порядка.
Пример 2.21 .
а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r
б) Отношение А Í В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.
в) Отношение делимости на множестве натуральных чиселесть отношение частичного порядка.
Функции. Основные понятия и определения
В математическом анализе принято следующее определение функции.
Переменная y называется функцией от переменной x , если по некоторому правилу или закону каждому значению x соответствует одно определенное значение y = f (x ). Область изменения переменной x называется областью определения функции, а область изменения переменной y – областью значений функции. Если одному значению x соответствует несколько (и даже бесконечно много значений y ), то функция называется многозначной. Впрочем, в курсе анализа функций действительных переменных избегают многозначных функций и рассматривают однозначные функции.
Рассмотрим другое определение функции с точки зрения отношений.
Определение 2.16. Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.
Такое свойство отношения называется однозначностью или функциональностью .
Пример 2.22 .
а) {<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – функция.
б) {<x , y >: x , y Î R , y = x 2 } – функция.
в) {<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – отношение, но не функция.
Определение 2.17. Если f – функция, то D f – область определения , а R f – область значений функции f .
Пример 2.23 .
Для примера 2.22 а) D f – {1, 3, 4, 5}; R f – {2, 4, 6}.
Для примера 2.22 б) D f = R f = (–¥, ¥).
Каждому элементу x D f функция ставит в соответствие единственный элемент y R f . Это обозначается хорошо известной записью y = f (x ). Элемент x называется аргументом функции или прообразом элемента y при функции f , а элемент y значением функции f на x или образом элемента x при f .
Итак, из всех отношений функции выделяются тем, что каждый элемент из области определения имеет единственный образ.
Определение 2.18. Если D f = X и R f = Y , то говорят, что функция f определена на X и принимает свои значения на Y , а f называют отображением множества X на Y (X ® Y ).
Определение 2.19. Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество D , и для любого x Î D справедливо равенство f (x ) = g (x ).
Это определение не противоречит определению равенства функций как равенства множеств (ведь мы определили функцию как отношение, т. е. множество): множества f и g равны, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 2.20. Функция (отображение) f называется сюръективной или просто сюръекцией , если ля любого элемента y Y существует элемент x Î X , такой, что y = f (x ).
Таким образом, каждая функция f является сюръективным отображением (сюръекцией) D f ® R f .
Если f – сюръекция, а X и Y – конечные множества, то ³ .
Определение 2.21. Функция (отображение) f называется инъективной или просто инъекцией или взаимно однозначной , если из f (a ) = f (b ) следует a = b .
Определение 2.22. Функция (отображение) f называется биективной или просто биекцией , если она одновременно инъективна и сюръективна.
Если f – биекция, а X и Y – конечные множества, то = .
Определение 2.23. Если область значений функции D f состоит из одного элемента, то f называется функцией-константой .
Пример 2.24 .
а) f (x ) = x 2 есть отображение множества действительных чисел на множество неотрицательных действительных чисел. Т.к. f (–a ) = f (a ), и a ¹ –a , то эта функция не является инъекцией.
б) Для каждого x R = (– , ) функция f (x ) = 5 – функция-константа. Она отображает множество R на множество {5}. Эта функция сюръективна, но не инъективна.
в) f (x ) = 2x + 1 является инъекцией и биекцией, т.к. из 2x 1 +1 = 2x 2 +1 следует x 1 = x 2 .
Определение 2.24. Функция, реализующая отображение X 1 ´ X 2 ´...´ X n ®Y называется n-местной функцией.
Пример 2.25 .
а) Сложение, вычитание, умножение и деление являются двуместными функциями на множестве R действительных чисел, т. е. функциями типа R 2 ® R .
б) f (x , y ) = – двуместная функция, реализующая отображение R ´ (R \ )® R . Эта функция не является инъекцией, т.к. f (1, 2) = f (2, 4).
в) Таблица выигрышей лотереи задает двуместную функцию, устанавливающую соответствие между парами из N 2 (N – множество натуральных чисел) и множеством выигрышей.
Поскольку функции являются бинарными отношениями, то можно находить обратные функции и применять операцию композиции. Композиция любых двух функций есть функция, но не для каждой функции f отношение f –1 является функцией.
Пример 2.26 .
а) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>} – функция.
Отношение f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>} не является функцией.
б) g = {<1, a >, <2, b >, <3, c >, <4, D >} – функция.
g -1 = {<a , 1>, <b , 2>, <c , 3>, <D , 4>} тоже функция.
в) Найдем композицию функций f из примера а) и g -1 из примера б). Имеем g -1f = {<a , 2>, <b , 3>, <c , 4>, <d , 2>}.
fg -1 = Æ.
Заметим, что (g -1f )(a ) = f (g -1 (a )) = f (1) = 2; (g -1f )(c ) = f (g -1 (c )) = f (3) = 4.
Элементарной функцией в математическом анализе называется всякая функция f , являющаяся композицией конечного числа арифметических функций, а также следующих функций:
1) Дробно-рациональные функции, т.е. функции вида
a 0 + a 1 x + ... + a n x n
b 0 + b 1 x + ... + b m x m .
2) Степенная функция f (x ) = x m , где m – любое постоянное действительное число.
3) Показательная функция f (x ) = e x .
4) логарифмическая функция f (x ) = log a x , a >0, a 1.
5) Тригонометрические функции sin, cos, tg, ctg, sec, csc .
6) Гиперболические функции sh, ch, th, cth .
7) Обратные тригонометрические функции arcsin , arccos и т.д.
Например, функция log 2 (x 3 +sincos 3x ) является элементарной, т.к. она есть композиция функций cosx , sinx , x 3 , x 1 + x 2 , logx , x 2 .
Выражение, описывающее композицию функций, называется формулой.
Для многоместной функции справедлив следующий важный результат, полученный А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом в 1957 г. и являющийся решением 13-ой проблемы Гильберта:
Теорема. Всякая непрерывная функция n переменных представима в виде композиции непрерывных функций двух переменных.
Способы задания функций
1. Наиболее простой способ задания функций – это таблицы (табл. 2.2):
Таблица 2.2
Однако, таким образом могут быть заданы функции, определенные на конечных множествах.
Если функция, определенная на бесконечном множестве (отрезке, интервале), задана в конечном числе точек, например, в виде тригонометрических таблиц, таблиц специальных функций и т.п., то для вычисления значений функций в промежуточных точках пользуются правилами интерполяции.
2. Функция может быть задана в виде формулы, описывающей функцию как композицию других функций. Формула задает последовательность вычисления функции.
Пример 2.28 .
f (x ) = sin (x + Öx ) является композицией следующих функций:
g (y ) = Öy ; h (u, v) = u + v; w (z ) = sinz.
3. Функция может быть задана в виде рекурсивной процедуры. Рекурсивная процедура задает функцию, определенную на множестве натуральных чисел, т. е. f (n ), n = 1, 2,... следующим образом: а) задается значение f (1) (или f (0)); б) значение f (n + 1) определяется через композицию f (n ) и других известных функций. Простейшим примером рекурсивной процедуры является вычисление n !: а) 0! = 1; б) (n + 1)! = n !(n + 1). Многие процедуры численных методов являются рекурсивными процедурами.
4. Возможны способы задания функции, не содержащие способа вычисления функции, а только описывающие ее. Например:
f M (x ) =
Функция f M (x ) – характеристическая функция множества M .
Итак, по смыслу нашего определения, задать функцию f – значит задать отображение X ® Y , т.е. определить множество X ´Y , поэтому вопрос сводится к заданию некоторого множества. Однако можно определить понятие функции, не используя языка теории множеств, а именно: функция считается заданной, если задана вычислительная процедура, которая по заданному значению аргумента находит соответствующее значение функции. Функция, определенная таким образом, называется вычислимой.
Пример 2.29 .
Процедура определения чисел Фибоначчи , задается соотношением
F n = F n- 1 + F n- 2 (n ³ 2) (2.1)
с начальными значениями F 0 = 1, F 1 = 1.
Формула (2.1) вместе с начальными значениями определяет следующий ряд чисел Фибоначчи:
| n | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
| F n | 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
Вычислительная процедура определения значения функции по заданному значению аргумента есть не что иное, как алгоритм .
Контрольные вопросы к теме 2
1. Укажите способы задания бинарного отношения.
2. Главная диагональ матрицы какого отношения содержит только единицы?
3. Для какого отношения r всегда выполняется условие r = r – 1 ?
4. Для какого отношения r всегда выполняется условие r r Í r .
5. Ввести отношения эквивалентности и частичного порядка на множестве всех прямых на плоскости.
6. Укажите способы задания функций.
7. Какое из следующих утверждений справедливо?
а) Всякое бинарное отношение есть функция.
б) Всякая функция есть бинарное отношение.
Тема 3. ГРАФЫ
Первая работа по теории графов принадлежащая Эйлеру, появилась в 1736 году. Вначале эта теория была связана с математическими головоломками и играми. Однако впоследствии теория графов стала использоваться в топологии, алгебре, теории чисел. В наше время теория графов находит применение в самых разнообразных областях науки, техники и практической деятельности. Она используется при проектировании электрических сетей, планировании транспортных перевозок, построении молекулярных схем. Применяется теория графов также в экономике, психологии, социологии, биологии.
Человеку присуща потребность в общении, взаимодействии с другими людьми. Удовлетворяя эту потребность, он проявляет и реализует свои возможности.
Человеческая жизнь на всем ее протяжении проявляется, прежде всего, в общении. И все многообразие жизни отражается в столь же бесконечном многообразии общения: в семье, школе, на производстве, в быту, компаниях и т.д.
Общение - одна из универсальных форм активности личности, проявляющаяся в установлении и развитии контактов между людьми, в формировании межличностных отношений и порождаемая потребностями в совместной деятельности.
Общение выполняет целый ряд основных функций :
- Информационная - функция приема, передачи сведений;
- Контактная - установление контакта как состояния обоюдной готовности людей к приему и передачи информации;
- Побудительная - функция стимуляции активности к действию;
- Координационная - функция взаимного ориентирования и согласования действий;
- Понимания - предполагает не только прием информации, но и понимание этой информации друг другом;
- Амотивная - функция возбуждения в партнере нужных эмоций, переживаний, чувств, предполагает эмоциональный обмен, изменение эмоционального состояния;
- Функция установления отношений - осознание и фиксирование своего социального статуса, социальной роли в конкретной социальной общности.
- Функция оказания влияния - изменение состояния, поведения, намерений, представлений, установок, мнений, решений, потребностей, действий и т.д.
Наряду с функциями выделяют основные виды общения.
По количеству участников:
- межличностное;
- групповое.
По способу общения:
- вербальное;
- невербальное.
По положению общающихся:
- контактное;
- дистантное.
По условиям общения:
- официальное;
- неофициальное.
В структуре общения выделяют три тесно взаимосвязанные, взаимообусловленные стороны:
- Перцептивная сторона общения - процесс восприятия друг друга.
- Коммуникативная сторона общения предполагает передачу информации. При этом необходимо учитывать, что человек высказывает 80% от того, что хочет сказать, слушающий - воспринимает 70% и понимает 60% от сказанного.
- Интерактивная сторона общения предполагает организацию взаимодействия (согласованность действий, распределение функций и др.).
При организации общения необходимо учитывать, что оно проходит ряд этапов, каждый из которых влияет на его эффективность.
Если один из этапов общения выпадает, эффективность общения резко снижается и существует вероятность не достичь тех целей, которые ставились при организации общения. Умение эффективно достигать поставленных целей в общении называется коммуникабельностью, коммуникативной компетентностью, социальным интеллектом.
Сущность и классификация экономических отношений
С момента своего выделения из мира дикой природы, человек развивается как биосоциальное существо. Это определяет условия его развития и становления. Основным стимулом развития человека и общества являются потребности. Для удовлетворения этих потребностей человек должен трудиться.
Труд – это сознательная деятельность человека по созданию благ с целью удовлетворения потребностей или получения выгоды.
Чем больше возрастали потребности, тем сложнее становился трудовой процесс. Он требовал все больших затрат ресурсов и все более слаженных действий всех членов общества. Благодаря труду формировались как основные черты внешнего облика современного человека, так и особенности человека как социального существа. Труд перешел в фазу экономической деятельности.
Экономической деятельностью называют деятельность человека по созданию, перераспределению, обмену и использованию материальных и духовных благ.
Экономическая деятельность сопряжена с необходимостью вступать в какие-то взаимоотношения всех участников данного процесса. Эти отношения получили название экономических.
Определение 1
Экономическими отношениями называют систему взаимоотношений физических и юридических лиц, формирующихся в процессе производства. перераспределения, обмена и потребления каких-либо благ.
Данные отношения имеют различные формы и длительность. Поэтому существует несколько вариантов их классификации. Все зависит от избираемого критерия. Критерием может быть время, периодичность (регулярность), степень выгоды, особенности участников данных отношений и т.д. наиболее часто упоминаются следующие виды экономических отношений :
- международные и внутригосударственные;
- взаимовыгодные и дискриминационные (приносящие пользу одной стороне и ущемляющие интересы другой);
- добровольные и принудительные;
- устойчивые регулярные и эпизодические (кратковременные);
- кредитно-финансовые и инвестиционные;
- отношения купли-продажи;
- собственнические отношения и пр.
В процессе экономической деятельности каждый из участников отношений может выступать в нескольких ролях. Условно выделяют три группы носителей экономических отношений. Таковыми являются:
- производители и потребители экономических благ;
- продавцы и покупатели экономических благ;
- владельцы и пользователи благ.
Иногда отдельно выделяют категорию посредников. Но с другой стороны посредники просто бывают одновременно в нескольких ипостасях. Поэтому система экономических отношений характеризуется большим разнообразием форм и проявлений.
Существует еще одна классификация экономических отношений. Критерием выступают особенности происходящих процессов и целей каждого из видов отношений. Этими видами выступают организация трудовой деятельности, организация хозяйственной деятельности и управление хозяйственно-экономической деятельностью.
Базисом для формирования экономических отношений всех уровней и видов является право собственности на ресурсы и средства производства. Они определяют право собственности на произведенные блага. Следующим системообразующим фактором являются принципы распределения произведенных благ. Эти два момента легли в основу формирования типов экономических систем.
Функции организационно-экономических отношений
Определение 2
Организационно-экономическими отношениями называются отношения по формированию условий для максимально эффективного использования ресурсов и снижения уровня затрат за счет организации форм производства.
Функцией данной формы экономических отношений является максимальное использование относительных экономических преимуществ и рациональное использование наявных возможностей. К основным формам организационно-экономических отношений относят концентрацию (укрупнение) производства, комбинирование (сочетание на одном предприятии производств разных отраслей), специализацию и кооперирование (для повышения производительности). Законченной формой организационно-экономических отношений считается формирование территориально-производительных комплексов. Дополнительный экономический эффект получается за счет удачного территориального расположения предприятий и рационального использования инфраструктуры.
Советские российские экономисты и экономгеографы в средине $ХХ$ века разработали теорию энерго-производственных циклов (ЭПЦ). Они предлагали так организовать производственные процессы на определенной территории, чтобы использовать единый поток сырья и энергии для производства целого комплекса продукции. Это позволило бы резко снизить себестоимость продукции и уменьшить отходность производства. Организационно-экономические отношения непосредственно связаны с управлением экономикой.
Функции социально-экономических отношений
Определение 3
Социально-экономическими отношениями называются отношения между экономическими агентами, в основе которых лежит право собственности.
Собственностью называют систему отношений между людьми, проявляющуюся в их отношении к вещам - правом ими распоряжаться.
Функцией социально-экономических отношений является упорядочение собственнических отношений в соответствии с нормами данного общества. Ведь правовые отношения строятся, с одной стороны, на основе права собственности, а с другой – на основе волевых имущественных отношений. Эти взаимодействия двух сторон принимают форму как моральных норм, так и законодательных (юридически закрепленных).
Социально-экономические отношения зависят от социальной формации, в которой развиваются. Они служат интересам правящего класса в данном конкретном обществе. Социально-экономические отношения обеспечивают переход права собственности от одного лица к другому (обмен, купля-продажа и пр.).
Функции международных экономических отношений
Международные экономические отношения выполняют функцию согласования экономической деятельности стран мира. Они несут характер всех трех основных форм экономических отношений - управления экономикой, организационно-экономических и социально-экономических. Особенно актуально это в настоящее время в связи с разнообразием моделей смешанной экономической системы.
Организационно-экономическая сторона международных отношений отвечает за расширение международного сотрудничества на основе интеграционных процессов. Социально-экономический аспект международных отношений состоит в стремлении к всеобщему повышению уровня благосостояния населения всех стран мира и снижению социальной напряженности в мировой экономике. Управление мировой экономикой направлено на снижение противоречий между национальными экономиками и снижении влияния мировых инфляционных и кризисных явлений.
В данном подразделе мы вводим декартовы произведения, отношения, функции и графы. Изучаем свойства этих математических моделей и связи между ними.
Декартово произведение и перечисление его элементов
Декартовым произведением множеств A и B называется множество, состоящее из упорядоченных пар: A ´ B = {(a ,b ): (a Î A ) & (b Î B )}.
Для множеств A 1 , …, A n декартово произведение определяется по индукции:
В случае произвольного множества индексов I декартово произведение семейства множеств {A i } i Î I определяется как множество, состоящее из таких функций f: I ® A i , что для всех i Î I верно f(i) Î A i .
Теорема 1
Пусть A и B – конечные множества. Тогда | A ´B| = | A| ×| B|.
Доказательство
Пусть A = { a 1 , …, a m } , B = { b 1 , …, b n } . Элементы декартового произведения можно расположить с помощью таблицы
(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n) ;
(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n) ;
(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n) ,
состоящей из n столбцов, каждый из которых состоит из m элементов. Отсюда | A ´B|= mn .
Следствие 1
Доказательство
C помощью индукции по n . Пусть формула верна для n . Тогда
Отношения
Пусть n ³1 – положительное целое число и A 1 , …, A n – произвольные множества. Отношением между элементами множеств A 1 , …, A n или n-арным отношением называется произвольное подмножество .
Бинарные отношения и функции
Бинарным отношением между элементами множеств A и B (или, коротко, между A и B ) называется подмножество R Í A ´B .
Определение 1
Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множеств A и B и подмножества f Í A ´ B (графика функции ), удовлетворяющего следующим двум условиям;
1) для любого x Î A существует такой y Î f , что (x, y) Î f ;
2) если (x, y) Î f и (x, z) Î f , то y = z.
Легко видеть, что f Í A ´ B будет тогда и только определять функцию, когда для любого x Î A существует единственный y Î f , что (x ,y ) Î f . Этот y обозначим через f (x ).
Функция называется инъекцией , если для любых x, x’ Î A , таких что x ¹ x’ , имеет место f(x) ¹ f(x’) . Функция называется сюръекцией , если для каждого y Î B существует такой x Î A , что f (x ) = y . Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называется биекцией .
Теорема 2
Для того чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции , что fg = Id B и gf = Id A .
Доказательство
Пусть f – биекция. В силу сюръективности f для каждого y Î B можно выбрать элемент x Î A , для которого f (x ) = y . В силу инъективности f , этот элемент будет единственным, и мы обозначим его через g (y ) = x . Получим функцию .
По построению функции g
, имеют место равенства f
(g
(y
)) = y
и g
(f
(x
)) = x
. Значит, верно fg =
Id B
и gf =
Id A
. Обратное очевидно: если fg =
Id B
и gf =
Id A ,
то f
– сюръекция в силу f
(g
(y
)) = y
, для каждого y
Î B
. В этом случае из будет следовать 
, и значит . Следовательно, f
– инъекция. Отсюда вытекает, что f
– биекция.
Образ и прообраз
Пусть – функция. Образом подмножества X Í A называется подмножество f(X) = { f(x): x Î X} Í B. Для Y Í B подмножество f - -1 (Y) ={ x Î A: f(x) Î Y} называется прообразом подмножества Y .
Отношения и графы
Бинарные отношения можно наглядно показать с помощью ориентированных графов .
Определение 2
Ориентированным графом называется пара множеств (E, V) вместе с парой отображений s, t: E ® V . Элементы множества V изображаются точками на плоскости и называются вершинами . Элементы из E называются направленными ребрами или стрелками . Каждый элемент e Î E изображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершину s(e) с вершиной t(e) .
Произвольному бинарному отношению R Í V ´ V соответствует ориентированный граф с вершинами v Î V , стрелками которого являются упорядоченные пары (u, v) Î R . Отображения s, t: R ® V определяются по формулам:
s(u, v) = u и t(u, v) = v .
Пример 1
Пусть V = {1,2,3,4}
.
Рассмотрим отношение
R = {(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)} .
Ему будет соответствовать ориентированный граф (рис. 1.2). Стрелками этого граф будут пары (i, j) Î R .
Рис. 1.2. Ориентированный граф бинарного отношения
В полученном ориентированном графе любая пара вершин соединяется не более чем одной стрелкой. Такие ориентированные графы называются простыми . Если не рассматривать направление стрелок, то мы приходим к следующему определению:
Определение 3
Простым (неориентированным) графом G = (V, E) называется пара, состоящая из множества V и множества E , состоящего из некоторых неупорядоченных пар {v 1 , v 2 } элементов v 1 , v 2 Î V таких, что v 1 ¹ v 2 . Эти пары называются ребрами , а элементы из V – вершинами .
Рис. 1.3. Простой неориентированный граф K 4
Множество E определяет бинарное симметричное антирефлексивное отношение, состоящее из пар (v 1 , v 2 ), для которых {v 1 , v 2 } Î E . Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.3 изображен простой граф с множеством вершин
V = {1, 2, 3, 4}
и множеством ребер
E = {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.
Операции над бинарными отношениями
Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется произвольное подмножество R Í A ´ B . Запись aRb (при a Î A , b Î B ) означает, что (a, b) Î R .
Определены следующие операции над отношениями R Í A ´ A :
· R -1 = {(a,b): (b,a) Î R} ;
· R ° S = {(a,b): ($ x Î A)(a,x) Î R & (x,b) Î R} ;
· R n = R °(R n -1) ;
Пусть Id A = {(a, a): a Î A} – тождественное отношение. Отношение R Í X ´ X называется:
1) рефлексивным , если (a, a) Î R для всех a Î X ;
2) антирефлексивным , если (a, a) Ï R для всех a Î X ;
3) симметричным , если для всех a, b Î X верна импликация aRb Þ bRa ;
4) антисимметричным , если aRb & bRa Þ a= b ;
5) транзитивным , если для всех a, b, c Î X верна импликация aRb & bRc Þ aRc ;
6) линейным , для всех a, b Î X верна импликация a ¹ b Þ aRb Ú bRa .
Обозначим Id A через Id . Легко видеть, что имеет место следующее.
Предложение 1
Отношение R Í X ´ X :
1) рефлексивно Û Id Í R ;
2) антирефлексивно Û R Ç Id= Æ ;
3) симметрично Û R = R -1 ;
4) антисимметрично Û R Ç R -1 Í Id ;
5) транзитивно Û R ° R Í R ;
6) линейно Û R È Id È R -1 = X ´ X .
Матрица бинарного отношения
Пусть A = {a 1 , a 2 , …, a m } и B = {b 1 , b 2 , …, b n } – конечные множества. Матрицей бинарного отношения R Í A ´ B называется матрица с коэффициентами:
Пусть A – конечное множество, |A | = n и B = A . Рассмотрим алгоритм вычисления матрицы композиции T = R ° S отношений R , S Í A ´ A . Обозначим коэффициенты матриц отношений R , S и T соответственно через r ij , s ij и t ij .
Поскольку свойство (a i ,a k )ÎT равносильно существованию такого a j Î A , что (a i ,a j )ÎR и (a j ,a k ) Î S , то коэффициент t ik будет равен 1, если и только если существует такой индекс j , что r ij = 1 и s jk = 1. В остальных случаях t ik равен 0. Следовательно, t ik = 1 тогда и только тогда, когда .
Отсюда вытекает, что для нахождения матрицы композиции отношений нужно перемножить эти матрицы и в полученном произведении матриц ненулевые коэффициенты заменить на единицы. Следующий пример показывает, как этим способом вычисляется матрица композиции.
Пример 2
Рассмотрим бинарное отношение на A = {1,2,3} , равное R = {(1,2),(2,3)} . Запишем матрицу отношения R . Согласно определению, она состоит из коэффициентов r 12 = 1, r 23 = 1 и остальных r ij = 0. Отсюда матрица отношения R равна:
Найдем отношение R ° R . С этой целью умножим матрицу отношения R на себя:
.
Получаем матрицу отношения:
Следовательно, R ° R = {(1,2),(1,3),(2,3)}.
Из предложения 1 вытекает следующее следствие.
Следствие 2
Если A = B , то отношение R на A :
1) рефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 1;
2) антирефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 0;
3) симметрично, если и только если матрица отношения R симметрична;
4) транзитивно, если и только если каждый коэффициент матрицы отношения R ° R не больше соответствующего коэффициента матрицы отношения R.